Blog Archive

duminică, 29 ianuarie 2012

Fractali – Curiozitati matematice

Fractalii sunt forme si modele extraordinare create cu ajutorul ecuatiilor matematice. O definitie intuitiva a fractalului este aceasta: Un fractal este o figura geometrica fragmentata sau franta, care poate fi divizata in parti, astfel incat fiecare dintre acestea sa fie (cel putin aproximativ) ocopie miniaturala a intregului.
Cuvantul “fractal” a fost introdus de matematicianulBenoit Mandelbrot in 1975 si provine din latinescul “fractus”, care inseamna spart sau fracturat.
Fractalul, ca obiect geometric, are in general urmatoarele caracteristici:
  1. este auto-similar (macar aproximativ sau stochastic): daca se mareste orice portiune dintr-un fractal, se vor obtine (cel putin aproximativ) aceleasi detalii cu cele ale fractalului intreg.
  2. are o definitie simpla si recursiva – pentru a va imagina fractalul corespunzator unei functii f(x), considerati elementele x, f(x), f(f(x)), f(f(f(x))), etc.
  3. are detaliere si complexitate infinita: orice nivel de magnificare pare identic si are o structura fina la scari infinit de mici.
Termenii cheie din geometria fractala sunt:
  • initiator: segmentul, curba sau forma initiala.
  • generator: regula folosita pentru a construi o noua curba sau forma din cea obtinuta anterior.
  • iteratie: procesul de repetare a aceluiasi pas iar si iar.

Exemple celebre de fractali

Fractal - Triunghiul lui Sierpinski - mod de construire
  • Triunghiul lui Sierpinski – se obtine pornind de la un triunghi si decupand recursiv triunghiul (central) format de mijloacele fiecarei laturi.
  • Fulgul de zapada al lui Koch -
    Fractal - Curba lui Koch - mod de construire
    Curba lui Koch
    se obtine pornind de la un triunghi echilateral si se inlocuieste treimea din mijloc de pe fiecare latura cu doua segmente astfel incat sa se formeze un nou triunghi echilateral exterior. Apoi se executa aceiasi pasi pe fiecare segment de linie a formei rezultate, la infinit. La fiecare iteratie, perimetrul aceste figuri creste cu patru treimi. Fulgul Koch este rezultatul unui numar infinit de executii ale acestor pasi, si are lungime infinita, in timp ce aria sa ramane finita. De aceea Fulgul Koch si constructiile similare sunt numite uneori “curbe monstru“.
  • Alte exemple celebre de fractali sunt:
    Fractal - Multimea Julia
    Multimea Julia
    Multimea lui Mandelbrot, Multimea lui Cantor, Covorul lui Sierpinski, Curba dragon, Curba lui Peano, Multimea Julia etc.

Fractali din natura

Benoit Mandelbrot – “parintele fractalilor” – a cercetat relatia dintre fractali si natura. El a aratat ca inFractali - Construirea Ferigii si Arborelui Fractalnatura exista multi fractali si ca acestia pot modela cu precizie unele fenomene. Mandelbrot impreuna cu colaboratorii sai au introdus tipuri noi de fractali pentru a modela lucruri mai complexe, cum ar fi arborii si muntii.
Conceptul de similitudine poate fi extins intr-o anumita masura prin introducerea unor mici schimbari in seria de transformari similare – asa-numiteleperturbari. Daca introducem anumite perturbari intr-un arbore fractal uniform, rezultatul poate semana cu un copac real, un coral sau cu un burete.
Fractali aproximativi pot fi observati usor in natura; aceste obiecte afiseaza o structura auto-similara la o scara mare, dar finita. Exemple de fractali din natura: norii, fulgii de zapada, cristalele, lanturile montane, fulgerele, retelele de rauri, liniile de coasta.
Fractal natural - Conopida (Broccoli)Arborii si ferigile sunt fractali naturali care pot fi modelati usor pe calculator folosind un algoritm recursiv. Natura recursiva este evidenta în aceste exemple — o ramura a unui arbore sau o frunza a unei ferigi este o copie în miniatura a întregului: nu identice, dar similare. O alta planta la care se poate observa usor auto-similitudinea este conopida (sau broccoli).
In corpul uman, pot fi modelate cu ajutorul fractalilor: ramificatiile venelor si arterelor, structura rinichiului si a scheletului, inima si sistemul nervos.

Fractali – aplicatii in diverse domenii

Complexitatea si proprietatile uimitoare ale fractalilor le permit acestora sa modeleze lucruri din diferite domenii: biologie, geografie, hidrologie, meteorologie, geologie, economie, medicina, psihologie, astronomie (modeleaza structura Universuluidistributia galaxiilor si distributia craterelor pe luna – in filmul Apollo 13, o imagine a lunii a fost generata folosind fractali).

Fractalii si Teoria Haosului

Fractalii si Teoria Haosului - Efectul fluturelui
Probabil ca ati auzit de “Efectul fluturelui“, care spune ca un fluture batand din aripi undeva in Europa poate declansa o tornada in Texas. De fapt asta afirma teoria haosului: mici modificari ale datelor initiale ale unui sistem complex pot conduce la stari finale ale sistemului foarte diferite.
O posibilitate importanta pentru a investiga sesibilitatea sistemelor haotice este de a le reprezenta comportamentul prin grafica pe computer. Aceste forme grafice rezultate apar sub forma unor fractali.
Utilitatea geometriei fractale in teoria haosului rezida in faptul ca obiectele nu mai sunt reduse la cateva forme perfect simetrice ca in geometria euclidiana – geometria fractala studiaza asimetria, asperitatea obiectelor, precum si
Fractal - Munte fractal animat - mod de obtinere
Munte fractal animat - mod de obtinere
structurile fractale din natura. In geometria fractala, norii nu mai sunt sfere, muntii nu mai sunt conuri, liniile de coasta nu mai sunt cercuri.
De fapt, asperitatea nu este numai o imperfectiune a unui lucru ideal, ci este chiar esenta multor obiecte naturale. Astfel, in timp ce geometria euclidiana servea ca limbaj descriptiv pentru mecanismele clasice de miscare, geometria fractala este folosita pentru studierea modelelor produse de haos.
In matematica, functiile fractale se comporta ca si sistemele haotice in care schimbari aleatoare asupra valorilor de pornire pot modifica valoarea functiei in moduri imprevizibile, in interiorul frontierelor sistemului. Faimoasa Multime Mandelbrot demonstreaza aceasta legatura dintre fractali si teoria haosului – dintr-o ecuatie matematica foarte simpla se produc rezultate foarte complexe.
Fractal - Multimea Mandelbrot
Multimea Mandelbrot
Pentru a intelege fractalii, trebuie distinse acele proprietati fundamentale care nu se schimba de la un obiect studiat la altul. Prin studierea structurii fractale a sistemelor haotice, e posibil sa se determine punctele critice in care predictibilitatea unui sistem dispare.
Scopul geometriei fractale este acela de a oferi o metodaingenioasa de cunoastere, prin care fenomene complexe pot fi explicate pornind de la niste reguli simple.

Fractalii in arta

Datorita frumusetii lor, fractalii sunt prelucrati de unii oameni in arta, colorati in manifestarile lor diferite si grupati in galerii de imagini fractale, pentru a ului si pentru a provoca imaginatia. De asemenea, fractalii mai pot fi utilizati pentru a modela cu precizie muzica produsa de diferiti compozitori. Fractalii se regasesc si in unele picturi, precum si in arta si arhitectura africana.

Generatori de fractali

Fractal generat
Fractal gene
Oricine poate crea peisaje deosebite si imagini atragatoare cu ajutorul fractalilor, deoarece exista pe Internet o multime deprograme software generatoare de fractali. Astfel, oricine poate genera fractali, neavand nevoie sa cunoasca notiuni matematice complexe – tot ce trebuie sa faca este sa modifice functia care genereaza fractalul si alti parametri, si sa selecteze niste culori. De asemenea, va puteti compune propria muzica fractala cu ajutorul unor programe software specializate.
Preluare de pe www.artacunoasterii.ro